微分方程的数值解法——常微分方程——欧拉法与改进欧拉法（2）

改进欧拉法

与上一篇中实例相比，改进欧拉法多了一步修正过程，正是应为有了该一步修正过程使得数值解法具有更高一级精度。
先看下面两幅图，第一幅是没有改进的欧拉法，第二幅是改进的欧拉法


两者相比误差有很大的提高。
下式即为改进欧拉法的修正公式，即梯形公式，

其中右边项中的i+1使用的时传统欧拉法的预估值。对当前值进行进一步修正。
代码如下：

%微分方程数值解法----欧拉法测试
%-------------------------------------
clc;
clear all;
close all;
%-------------------------------------
%du/dt + u^2 = 0
%u(0)=1
%-------------------------------------
N = 100;
t_s = 0;
t_e = 1;
dt = (t_e-t_s)/N;
t = t_s:dt:t_e-dt;

M=2;
%-------------------------------------
%解析解
u_j=1./(1+t);
u_s(1) = 1;
for i=2:N
    if M==1
        u_s(i)=-u_s(i-1)^2*dt+u_s(i-1);
    elseif M==2
        u_s(i)=-u_s(i-1)^2*dt+u_s(i-1);%预测
        u_s(i)=u_s(i-1)+(-u_s(i)^2-u_s(i-1)^2)*dt/2;
    end
end
subplot(2,1,1);
plot(t,u_j,'-o',t,u_s,'-*');
xlabel('t');
ylabel('y');
legend('解析解','数值解');
subplot(2,1,2);
plot(t,u_j-u_s,'-r');
xlabel('t');
ylabel('err');
legend('误差');

运行结果如下：